暑期算法 第七题

题目

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

输入：m = 3, n = 7
输出：28

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

输入：m = 7, n = 3
输出：28

输入：m = 3, n = 3
输出：6

来源：LeetCodeHOT100-62

题解

var uniquePaths = function(m, n) {
    const f = new Array(m).fill(0).map(() => new Array(n).fill(0));
    for (let i = 0; i < m; i++) {
        f[i][0] = 1;
    }
    for (let j = 0; j < n; j++) {
        f[0][j] = 1;
    }
    for (let i = 1; i < m; i++) {
        for (let j = 1; j < n; j++) {
            f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1];
        }
    }
    return f[m - 1][n - 1];
};

题析

这又是一道动态规划题，继续抓住三个要点：

定义数组元素的含义

定义 dp[i][j] 的含义为：从左上角走到 (i,j) 的路径数量。

找出数组元素间的关系式

到达(i,j)有两种方式：

• 一种是从上往下

• 一种是从左往右

算所有可能的路径，所以有 dp[i，j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]。

找出初始条件

dp[0][0]、dp[0][j]、dp[i][0]都为1。

题外

这是一道很基础的二维动态规划题，与一维的思想是相似的，二维动态规划是在寻找dp[i][j]与dp[i-1][j]、dp[i][j-1]、dp[i-1][j-1]的关系。